Метод контурных токов

 Пример решения задачи методом контурных токов  Решить онлайн! (New!!!)
Контурные токи – это условно независимые, одинаковые для всех ветвей каждого контура токи (рис.1 , указанные пунктиром II , III), которые совпадают по модулю с соответствующими токами внешних ветвей (например, ), токи смежных ветвей равняются их сумме (если, направления контурных токов совпадают) или разности (если направления противоположны). Например, .

 
Рис.1.

Смотрите также
 Пример решения схемы методом контурных токов № 1
 Пример решения схемы методом контурных токов № 2
 Пример решения схемы методом контурных токов № 3
 Пример решения схемы методом контурных токов № 4
 Пример решения схемы методом контурных токов № 5

Введение контурных токов дает возможность исключить из системы по первому и второму законам Кирхгофа уравнения первого закона Кирхгофа, снизив размерность системы до m – (n – 1). Для схемы (рис.1) исключим I3 и I4 из двух первых уравнений системы:


Из второго уравнения найдем I4, из первого – I3:

Подставим полученную формулу в два последних уравнения системы Кирхгофа:

Или относительно неизвестных I1 и I2:

После введения обозначений

(второе уравнение умножили на -1, чтобы III имел дополнительное значение) получим систему уравнений для контурных токов II и III:

где R12 = R21 = R4 (взаимное сопротивление Rij будет иметь отрицательное значение, если II и III направлены навстречу друг другу); Е2 также отрицательна, поскольку направление Е2, противоположно по направлению току III, должно быть в левой части уравнения со знаком «-» но после перехода вправо получило знак «+».
Обобщим систему для произвольного числа контуров:

Элементы формируются согласно алгоритма метода контурных токов:
1. Выделить m – (n – 1) независимых контуров (каждый новый контур необходимо выбрать так, чтобы в него входил хотя бы один элемент электрической цепи, который не входит в другие контуры: например, для рис. 2, если выбраны контуры abd и bcd, то нельзя брать третьим контур abcd.

 
Рис.2.

2. Указать произвольно направления обхода контуров. Если на схеме уже обозначено направление токов в ветвях, то удобно направления контурных токов согласовать с направлением токов в ветвях.
3. Вычислить Rij: Rij равняется сумме сопротивлений всех элементов, входящих в i-й контур; Rij – равняется по модулю сумме сопротивлений ветвей, которые одновременно принадлежат i-му и j-му контурам; Rij больше нуля, если контурные токи i-го контура совпадают по направлению, и меньше нуля – при противоположных направлениях.
4. Вычислить правые части системы: Еi равняется алгебраической сумме ЭДС i-го контура; со знаком «+» берутся ЭДС, внутренняя стрелочка которых совпадает с направлением контурного тока i-го контура, «-» - если не совпадают. Если в семе есть источник тока J, то для его учета необходимо заблаговременно распределить ток J по ветвям любого незамкнутого контура, который дополняет ветвь с источником тока до замкнутого контура (в нашем случае – через R3, однако можно было бы и через R2 и R4). Полученное таким образом произведение J на соответствующее сопротивление необходимо перенести вправо, при этом необходимо поменять знак.
5. Решить систему уравнений относительно I. По контурным токам определить токи в ветвях. Во внешних ветвях они по модулю совпадают, во внутренних совпадающие по направлению складываются, направлены встречно – вычитаются. (В нашем примере I1 = I2; III = - I2; I1 – III = I4; ток I3 определим по первому закону Кирхгофа для узла 3: III – J + I3 = 0, откуда I3 = J - III).